Параграф 6

Дійсні числа та числова пряма

Вступ до теми

Ми вже познайомилися з раціональними й ірраціональними числами, дізналися, як виглядають звичайні та десяткові дроби, а також нескінченні неперіодичні дроби. Настав час об’єднати всі ці знання в одне ціле — познайомитися з поняттям дійсних чисел та з’ясувати, як вони розташовані на числовій прямій.

---

Що таке дійсні числа?

Дійсні числа — це всі числа, які можна знайти на числовій прямій. Вони включають:

1. Натуральні числа: 1, 2, 3, 4, 5, ...

2. Цілі числа: ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

3. Раціональні числа — дроби, які можна подати у вигляді a/b, де a і b — цілі числа, а b ≠ 0. Наприклад: 3/4, –5/2, 0, 7.

4. Ірраціональні числа — нескінченні, неперіодичні десяткові дроби: √2, π, e, –√3, тощо.

Таким чином, множина дійсних чисел об’єднує раціональні та ірраціональні числа:

> R = Q ∪ I, де R — множина дійсних чисел, Q — раціональні числа, I — ірраціональні числа.

---

Числова пряма

Числова пряма — це візуальне зображення дійсних чисел. Уявіть нескінченну пряму лінію, на якій кожному числу відповідає певна точка.
Умовно ми позначаємо 0 як початкову точку, праворуч від нього розміщені додатні числа, а ліворуч — від’ємні.

Наприклад:

<--- –3 –2 –1  0  1  2  3 --->

Але між будь-якими двома цілими числами можна розмістити нескінченно багато дробів, як раціональних, так і ірраціональних. Наприклад, між 0 і 1:

Раціональні: 1/2, 3/4, 0.1, 0.99

Ірраціональні: √0.5, π/4, 0.101001000100001...

Це означає, що дійсна числова пряма безперервна — на ній немає жодних "прогалин".

---

Властивості дійсних чисел

Можна порівнювати: будь-які два дійсні числа можна впорядкувати (одне більше або менше за інше, або рівне йому).

Можна додавати, віднімати, множити й ділити (окрім ділення на нуль).

Кожне число має точне розташування на прямій, яке можна знайти з довільною точністю.

---

Приклади дійсних чисел:

5 (натуральне, ціле, раціональне, дійсне)

–2.75 (раціональне, дійсне)

√3 ≈ 1.732 (ірраціональне, дійсне)

π ≈ 3.14159 (ірраціональне, дійсне)

---

Підсумок

Дійсні числа — це фундаментальна система чисел у математиці, що охоплює майже всі знайомі нам числа. Завдяки числовій прямій ми можемо візуалізувати їх, порівнювати, обчислювати та краще розуміти структуру числового світу.

---

10 запитань для учнів

1. Які числа називаються дійсними?

2. Які підмножини входять до множини дійсних чисел?

3. Чим ірраціональні числа відрізняються від раціональних?

4. Чи можна на числовій прямій знайти ірраціональне число?

5. Що означає "числова пряма безперервна"?

6. Наведи приклади трьох різних дійсних чисел.

7. Чи є число –3 дійсним? Поясни.

8. Чи є число 0,333... (періодичне) ірраціональним? Чому?

9. Як зобразити число √2 на числовій прямій?

10. Між якими двома цілими числами знаходиться число π?

---

12 тестових завдань (з одним правильним варіантом)

1. Яке з наведених чисел не є дійсним?

А) 3

Б) √2

В) 1/2

Г) ∞
Правильна відповідь: Г

2. Яке з чисел є ірраціональним?

А) 2.5

Б) 3/7

В) √5

Г) –4
Правильна відповідь: В

3. До яких множин належить число –2?

А) тільки до цілих

Б) до цілих і раціональних

В) тільки до дійсних

Г) лише до ірраціональних
Правильна відповідь: Б

4. Яке з чисел є раціональним?

А) π

Б) √2

В) 1/3

Г) √3
Правильна відповідь: В

5. Яке з тверджень правильне?

А) Усі раціональні числа — це дійсні числа

Б) Усі дійсні числа — це раціональні

В) Усі дійсні числа — це цілі

Г) Лише натуральні числа є дійсними
Правильна відповідь: А

6. Яке з наведених чисел розташоване між 0 та 1, але є ірраціональним?

А) 0.5

Б) 1/3

В) √0.5

Г) 0.75
Правильна відповідь: В

7. Яка точка на числовій прямій відповідає числу π приблизно?

А) 2

Б) 3.14

В) 3.75

Г) 4
Правильна відповідь: Б

8. Яке число не є раціональним?

А) –0.25

Б) 5

В) 7/8

Г) √3
Правильна відповідь: Г

9. Яке з чисел є натуральним?

А) –3

Б) 0

В) 7

Г) 2.5
Правильна відповідь: В

10. Яка з характеристик числової прямої є правильною?

А) має початок і кінець

Б) містить тільки цілі числа

В) має безперервну структуру

Г) не включає ірраціональні числа
Правильна відповідь: В

11. Число 0,121221222... (де кількість цифр "2" постійно зростає) є:

А) раціональним

Б) періодичним

В) ірраціональним

Г) натуральним
Правильна відповідь: В

12. Усі дійсні числа:

А) зображуються точками на числовій прямій

Б) є цілими

В) є дробами

Г) не мають десяткового запису
Правильна відповідь: А