Параграф 8

Степінь числа з натуральним показником

У математиці степінь числа з натуральним показником — це зручний спосіб запису добутку однакових множників.
Наприклад, замість запису 2 × 2 × 2 × 2 ми можемо написати 2^4. Тут число 2 — основа степеня, а число 4 — показник степеня, який означає, скільки разів множимо число саме на себе.

Отже, якщо a — будь-яке число, а n — натуральне число (тобто 1, 2, 3, 4, …), то:
a^n = a × a × a × … × a (n множників).

Наприклад:
- 3^2 = 3 × 3 = 9
- 5^3 = 5 × 5 × 5 = 125
- 10^1 = 10

Особливий випадок — число у першому степені: a^1 = a для будь-якого числа a.

### Властивості степеня з натуральним показником:

1. a^m × a^n = a^(m+n)
  Пояснення: множення однакових основ — показники додаються.
  Приклад: 2^3 × 2^2 = 2^(3+2) = 2^5 = 32

2. (a^m)^n = a^(m×n)
  Пояснення: степінь степеня — показники перемножуються.
  Приклад: (3^2)^4 = 3^8

3. a^1 = a
  Кожне число в першому степені дорівнює самому собі.

4. a^0 = 1 (для a ≠ 0)
  Будь-яке ненульове число у нульовому степені дорівнює 1.

5. a^n × b^n = (a × b)^n
  Множення чисел з однаковими показниками.

6. a^n ÷ b^n = (a ÷ b)^n
  Ділення чисел з однаковими показниками.

Ці властивості дуже важливі для спрощення виразів та обчислень.

### Задачі для учнів:

1. Обчисли: 4^3 =
2. Запиши у вигляді степеня: 7 × 7 × 7 × 7
3. Обчисли: (2^3)^2
4. Обчисли: 10^0
5. Запиши добуток 3^4 × 3^2 як один степінь
6. Чи правильно: 5^3 = 5 × 3?
7. Запиши у вигляді степеня: (6 × 2)^3
8. Обчисли: 9^2
9. У скільки разів 2^5 більше за 2^2?
10. Знайди значення виразу: (2^2 × 3^2)^2

### Тестові завдання (1 правильна відповідь):

1. 2^3 =  
  А) 6  Б) 8  В) 9  Г) 12

2. 5 × 5 × 5 =  
  А) 5^2  Б) 5^3  В) 5^5  Г) 3^5

3. (3^2)^2 =  
  А) 3^4  Б) 3^6  В) 6^2  Г) 9^2

4. 6^0 =  
  А) 6  Б) 1  В) 0  Г) не існує

5. 4^2 =  
  А) 16  Б) 8  В) 12  Г) 24

6. Запис 10^3 означає:  
  А) 10 × 3  Б) 10 × 10 × 10  В) 3 × 3 × 3  Г) 100

7. Яке з рівностей правильне:  
  А) 2^2 = 2 × 2 × 2  Б) 3^1 = 1  В) 4^0 = 1  Г) 5^3 = 15

8. (2 × 3)^2 =  
  А) 2^2 × 3^2  Б) 6^2  В) 5^2  Г) 2 × 3^2

9. Який степінь має 7 × 7 × 7 × 7 × 7?  
  А) 7^3  Б) 7^4  В) 7^5  Г) 5^7

10. (2^3)^2 =  
   А) 2^5  Б) 2^6  В) 2^8  Г) 6^2

11. 1^100 =  
   А) 100  Б) 0  В) 1  Г) не існує

12. 3^0 + 2^1 =  
   А) 1  Б) 2  В) 3  Г) 4