Параграф 5

Ірраціональні числа. Поняття про нескінченні неперіодичні дроби

Ми вже знаємо, що деякі числа можна записати у вигляді дробу a/b, де a і b — цілі числа, а b ≠ 0. Такі числа називаються раціональними. Проте існують числа, які неможливо представити у вигляді звичайного дробу. Такі числа утворюють окрему групу — ірраціональні числа.

---

Що таке ірраціональні числа?

Ірраціональні числа — це дійсні числа, які не можна записати у вигляді дробу. Їхні десяткові записи є нескінченними і неперіодичними — тобто, вони не повторюються з певною закономірністю.

Приклади ірраціональних чисел:

√2 ≈ 1.4142135...

√3 ≈ 1.7320508...

π ≈ 3.1415926535...

e ≈ 2.7182818284...

Ці числа тривають без кінця і не містять повторюваного фрагмента. Навіть з допомогою сучасних комп’ютерів ми можемо знайти мільйони знаків після коми, але так і не побачимо періоду.

---

Історія відкриття

Першим відкритим ірраціональним числом була √2. Легенда свідчить, що давньогрецький філософ Піфагор та його учні відкрили, що гіпотенуза прямокутного трикутника зі сторонами 1 і 1 дорівнює √2, але це число не можна виразити дробом. Це відкриття викликало справжній шок, адже руйнувало уявлення про «все виражене через число».

---

Нескінченні неперіодичні дроби

Це дроби, які мають нескінченну кількість цифр після десяткової крапки, але не мають повторення. Саме такі записи мають усі ірраціональні числа.

Порівняймо:

Раціональне число:
0.333... = 1/3 → нескінченне, але періодичне

Ірраціональне число:
π = 3.1415926535... → нескінченне й неперіодичне

---

Як відрізнити ірраціональне число від раціонального?

Раціональне:

Можна записати у вигляді звичайного дробу

Десятковий запис — скінченний або періодичний

Наприклад: 0.75 = 3/4, 0.666... = 2/3

Ірраціональне:

Не можна подати як дріб

Десятковий запис — нескінченний, неперіодичний

Наприклад: √5, π, e

---

Графічне розуміння

На числовій прямій ірраціональні числа розміщені між раціональними. Наприклад, √2 знаходиться між 1.4 та 1.5. Ці числа щільно вплетені у числову пряму, хоча ніколи не можуть бути точно подані у вигляді дробу.

---

Практичне значення ірраціональних чисел

Ірраціональні числа мають велике значення в науці:

у геометрії — для обчислення діагоналей, площ тощо (√2, √3);

у фізиці — для точних розрахунків (π, e);

в інженерії — для моделювання хвиль, теплових процесів, економічних моделей.

---

Запитання для учнів (відкриті)

1. Що таке ірраціональне число?

2. Назви три приклади ірраціональних чисел.

3. Чим відрізняється нескінченний періодичний дріб від нескінченного неперіодичного?

4. Чи можна подати π у вигляді звичайного дробу? Поясни.

5. Чи є число 2.828427124... ірраціональним? Чому?

6. Поясни, чому √2 — ірраціональне число.

7. Яке місце займають ірраціональні числа на числовій прямій?

8. Які числа можна назвати дійсними?

9. Чи може бути ірраціональне число від’ємним?

10. Чому обчислення з ірраціональними числами часто наближені?

---

Тестові завдання (одна правильна відповідь)

1. Яке число є ірраціональним?
А. 5/2
Б. √2
В. 0.6
Г. -3

---

2. Десятковий запис ірраціонального числа є:
А. Скінченним
Б. Нескінченним періодичним
В. Нескінченним неперіодичним
Г. Мішаним числом

---

3. Чи є число π раціональним?
А. Так
Б. Ні
В. Так, бо його можна округлити
Г. Так, бо воно більше за 3

---

4. Яке з чисел є раціональним?
А. 0.5
Б. √3
В. π
Г. e

---

5. Який дріб дорівнює 0.125?
А. 2/3
Б. 1/8
В. 1/7
Г. 3/8

---

6. Нескінченний неперіодичний дріб:
А. 1.333...
Б. 2.121212...
В. √7
Г. 0.444...

---

7. Яке з чисел ближче до √2?
А. 1.2
Б. 1.41
В. 1.8
Г. 1.0

---

8. Яке з наведених чисел не є дійсним?
А. √2
Б. Корінь з -1
В. π
Г. 0

---

9. Який із варіантів є правильним твердженням?
А. Ірраціональні числа — це мішані дроби
Б. Усі ірраціональні числа мають десяткову крапку
В. Ірраціональні числа не мають періоду
Г. Ірраціональні числа дорівнюють нескінченним звичайним дробам

---

10. Ірраціональні числа разом із раціональними утворюють:
А. Натуральні числа
Б. Цілі числа
В. Дійсні числа
Г. Уявні числа

---

11. Яке число наближено дорівнює 3.14159...?
А. e
Б. π
В. √5
Г. √9

---

12. Яке з тверджень є хибним?
А. Число √2 — ірраціональне
Б. Нескінченний неперіодичний дріб — це запис ірраціонального числа
В. Кожне ірраціональне число можна записати у вигляді дробу
Г. π — це приклад нескінченного неперіодичного дробу

---