Параграф 4

Раціональні числа. Звичайні та десяткові дроби

У повсякденному житті ми часто стикаємося з числами, які не є цілими: половинка яблука, чверть метра тканини, 0,75 літра води. Усі ці приклади показують, що чисел може бути більше, ніж просто 0, 1, 2 чи -3. Числа, які можна подати у вигляді дробу, тобто відношення двох цілих чисел, називаються раціональними числами.

Що таке раціональні числа?

Раціональне число — це число, яке можна записати у вигляді дробу:
a/b, де a і b — цілі числа, а b ≠ 0.

Наприклад:

½ (одна друга) — раціональне число, бо 1 і 2 — цілі числа, а знаменник не нуль.

-7/3 (мінус сім третіх) — теж раціональне.

4 — це також раціональне число, бо його можна записати як 4/1.

0 — теж раціональне: 0/5 = 0.

Раціональні числа включають додатні, від’ємні та нуль.

Звичайні дроби

Звичайний дріб — це число у вигляді a/b, де:

a — чисельник (вказує, скільки частин узято),

b — знаменник (на скільки частин поділено ціле).

Приклади:

⅔ означає: поділили щось на 3 частини й узяли 2 з них.

5/4 — неправильний дріб, бо чисельник більший за знаменник (можна подати як мішане число: 1 ціле і 1/4).

-3/7 — від’ємний дріб.

Види звичайних дробів:

Правильні дроби — чисельник менший за знаменник (3/5, 2/9).

Неправильні дроби — чисельник більший або дорівнює знаменнику (7/4, 8/8).

Мішані числа — поєднання цілого числа й дробу (2 1/3).

Десяткові дроби

Десяткові дроби — це запис дробових чисел за допомогою десяткової крапки (у деяких країнах — коми).
Наприклад:

0.5 = 1/2

0.25 = 1/4

1.75 = 1 + 75/100

У десятковому дробі перший розряд після крапки — десяті, другий — соті, далі — тисячні тощо.

Види десяткових дробів:

Скінченні (мають кінцеву кількість знаків після крапки): 0.4, 2.75, 3.125

Нескінченні періодичні (цифра або група цифр повторюється без кінця):
0.333... = 1/3,
0.142857142857... = 1/7

Нескінченні неперіодичні — не є раціональними числами, вони не мають повторень (наприклад, π, √2).

Перетворення дробів

Звичайні дроби можна перетворювати на десяткові шляхом ділення чисельника на знаменник.
Наприклад: 1/4 = 0.25, 2/5 = 0.4

Десяткові дроби можна перетворити на звичайні, якщо вони скінченні або періодичні.
Наприклад: 0.6 = 6/10 = 3/5.

---

Задачі

1. Запиши число ¾ у вигляді десяткового дробу.

2. Перетвори число 1.2 у звичайний дріб.

3. У скільки разів 5/6 більше за 1/3?

4. Чи є число -2,75 раціональним? Обґрунтуй відповідь.

5. Який дріб більший: 3/8 чи 2/5?

6. Знайди суму дробів: 1/4 + 2/3.

7. Перетвори мішане число 2 3/10 у неправильний дріб.

8. Знайди різницю: 0.9 – 0.75.

9. Вирази десятковий дріб 0.125 у вигляді звичайного дробу.

10. Вкажи приклад числа, яке є нескінченним періодичним дробом і запиши його у вигляді звичайного дробу.

---

---

Тестові завдання

1. Яке з наведених чисел є раціональним?
А. √2
Б. π
В. -3/7
Г. sin(45°)

---

2. Який дріб є неправильним?
А. 2/5
Б. 3/8
В. 7/4
Г. 1/2

---

3. Який з дробів дорівнює десятковому дробу 0.6?
А. 3/4
Б. 3/5
В. 2/3
Г. 5/6

---

4. Яке число дорівнює мішаному числу 2 1/2?
А. 5/2
Б. 3/2
В. 2.5
Г. 2.1

---

5. Яке число більше за 0.375?
А. 0.2
Б. 0.12
В. 0.4
Г. 0.1

---

6. Число 1.333… (з періодом 3) дорівнює:
А. 4/3
Б. 1 1/3
В. 5/4
Г. 3/2

---

7. Перетвори 5/8 у десятковий дріб. Яка відповідь правильна?
А. 0.6
Б. 0.625
В. 0.75
Г. 0.8

---

8. Який із варіантів є нескінченним періодичним дробом?
А. 1.5
Б. 0.125
В. 0.666...
Г. 2.25

---

9. Вибери правильне твердження:
А. Усі дроби — неправильні
Б. Будь-яке ціле число є раціональним числом
В. Жодне десяткове число не є раціональним
Г. Тільки додатні числа є раціональними

---

10. Який дріб дорівнює 1/4 у десятковій формі?
А. 0.25
Б. 0.5
В. 0.75
Г. 0.2

---