Параграф 3

 Цілі числа. 

Додатні та від'ємні.

Після знайомства з натуральними числами, які використовуються для лічби, ми розширимо наше розуміння чисел, ввівши поняття цілих чисел. Цілі числа включають у себе натуральні числа, нуль та від'ємні числа.
Уявіть собі шкалу термометра. Вище нуля ми маємо позитивні значення, що позначають тепло. Нижче нуля – негативні значення, що вказують на мороз. Саме ця ідея розширення числових значень лежить в основі введення від'ємних чисел.

Множина цілих чисел (позначається літерою \mathbb{Z}) складається з усіх натуральних чисел (1, 2, 3, ...), числа нуль (0) та всіх від'ємних чисел (-1, -2, -3, ...). Отже, \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}.
Додатні числа: Це натуральні числа (1, 2, 3, ...). Їх часто (але не завжди) позначають знаком "+" перед числом (+1, +2, +3, ...). У більшості випадків знак "+" опускається. 

Додатні числа розташовуються праворуч від нуля на числовій прямій.

Від'ємні числа: Це числа, менші за нуль (-1, -2, -3, ...). Вони завжди позначаються знаком "-" перед числом. Від'ємні числа розташовуються ліворуч від нуля на числовій прямій.
Нуль (0): Число нуль є особливим цілим числом. Воно не є ні додатним, ні від'ємним. Нуль відображає відсутність кількості або початок відліку на числовій прямій.
3.1. Числова пряма та порівняння цілих чисел.
Для наочного представлення цілих чисел використовується числова пряма. Це пряма лінія, на якій відмічено початок відліку – точка, що відповідає числу 0. Праворуч від нуля розташовуються додатні числа у порядку зростання, а ліворуч – від'ємні числа у порядку спадання. Відстані між сусідніми цілими числами на числовій прямій є однаковими.
<--- -3  -2  -1   0   +1   +2   +3 --->

Використовуючи числову пряму, легко порівнювати цілі числа:
* Будь-яке додатне число більше за нуль і будь-яке від'ємне число.
  * Приклад: 5 > 0, -2 < 0.
* Будь-яке додатне число більше за будь-яке від'ємне число.
  * Приклад: 3 > -4.
* З двох додатних чисел більшим є те, яке розташоване правіше на числовій прямій (тобто має більшу абсолютну величину).
  * Приклад: 7 > 2.
* З двох від'ємних чисел більшим є те, яке розташоване правіше на числовій прямій (тобто має меншу абсолютну величину).
  * Приклад: -1 > -5 (оскільки -1 ближче до нуля, ніж -5).
3.2. Абсолютна величина цілого числа.
Абсолютна величина (або модуль) цілого числа a позначається як |a| і визначається як відстань від цього числа до нуля на числовій прямій. Абсолютна величина завжди є невід'ємним числом.
* Якщо a – додатне число, то |a| = a.
  * Приклад: |+5| = 5.
* Якщо a – від'ємне число, то |a| = -a.
  * Приклад: |-3| = -(-3) = 3.
* Якщо a = 0, то |a| = 0.
  * Приклад: |0| = 0.
Абсолютна величина відображає "величину" числа без урахування його знака. Наприклад, числа +7 і -7 мають однакову абсолютну величину, рівну 7.
3.3. Основні арифметичні операції над цілими числами.
Розглянемо, як виконуються основні арифметичні операції над цілими числами, враховуючи їхні знаки.
Додавання (+):
* Додавання двох додатних чисел: Результат є додатним числом, а його абсолютна величина дорівнює сумі абсолютних величин доданків.
  * Приклад: (+3) + (+5) = +8 (або просто 3 + 5 = 8).
* Додавання двох від'ємних чисел: Результат є від'ємним числом, а його абсолютна величина дорівнює сумі абсолютних величин доданків.
  * Приклад: (-2) + (-4) = -(2 + 4) = -6.
* Додавання чисел з різними знаками:
  * Якщо абсолютна величина додатного числа більша за абсолютну величину від'ємного числа, результат є додатним, а його абсолютна величина дорівнює різниці між більшою та меншою абсолютними величинами.
    * Приклад: (+7) + (-3) = +(7 - 3) = +4 (або просто 7 - 3 = 4).
  * Якщо абсолютна величина від'ємного числа більша за абсолютну величину додатного числа, результат є від'ємним, а його абсолютна величина дорівнює різниці між більшою та меншою абсолютними величинами.
    * Приклад: (-8) + (+2) = -(8 - 2) = -6.
  * Якщо абсолютні величини чисел рівні, сума дорівнює нулю.
    * Приклад: (+5) + (-5) = 0.
Властивості додавання (комутативність та асоціативність), які ми розглядали для натуральних чисел, також справедливі для цілих чисел. Крім того, для цілих чисел існує нейтральний елемент щодо додавання – число 0: a + 0 = 0 + a = a для будь-якого цілого числа a. Також для кожного цілого числа a існує протилежне число (-a) таке, що a + (-a) = 0.
Віднімання (-): Віднімання цілого числа b від цілого числа a можна розглядати як додавання до a числа, протилежного до b: a - b = a + (-b).
* Приклад: 5 - 3 = 5 + (-3) = 2.
* Приклад: 2 - 7 = 2 + (-7) = -5.
* Приклад: (-4) - (-1) = (-4) + (+1) = -3.
Множення (× або ·):
* Множення двох додатних чисел: Результат є додатним числом.
  * Приклад: (+3) \times (+4) = +12 (або просто 3 \times 4 = 12).
* Множення двох від'ємних чисел: Результат є додатним числом.
  * Приклад: (-2) \times (-5) = +10.
* Множення додатного числа на від'ємне (або навпаки): Результат є від'ємним числом.
  * Приклад: (+6) \times (-1) = -6.
  * Приклад: (-3) \times (+2) = -6.
Властивості множення (комутативність, асоціативність, дистрибутивність відносно додавання), які ми розглядали для натуральних чисел, також справедливі для цілих чисел. Крім того, для цілих чисел існує нейтральний елемент щодо множення – число 1: a \times 1 = 1 \times a = a для будь-якого цілого числа a.
Ділення (÷ або /): Ділення цілого числа a на ціле число b (b \neq 0) не завжди дає в результаті ціле число. Ділення націло відбувається лише тоді, коли абсолютна величина a ділиться на абсолютну величину b без остачі, і знак результату визначається за такими правилами:
* Додатне поділене на додатний дільник дає додатну частку.
* Від'ємне поділене на від'ємний дільник дає додатну частку.
* Додатне поділене на від'ємний дільник (або навпаки) дає від'ємну частку.
* Приклад: (+12) \div (+3) = +4 (або просто 12 \div 3 = 4).
* Приклад: (-10) \div (-2) = +5.
* Приклад: (+8) \div (-4) = -2.
* Приклад: (-15) \div (+5) = -3.
Якщо ділення націло неможливе, результатом буде раціональне число (дріб), яке ми розглянемо в наступному параграфі.
Розуміння цілих чисел та правил виконання арифметичних операцій над ними є ключовим для подальшого вивчення алгебри та інших розділів математики. Від'ємні числа дозволяють нам описувати такі поняття, як борг, температура нижче нуля, рух у протилежному напрямку, і значно розширюють можливості математичного моделювання реальних процесів.