Параграф 2

 Натуральні числа та їхні властивості.

1. Що таке натуральні числа? 

Лічба та порядок.

У найдавніші часи, коли перед людиною постала потреба обліковувати здобич, худобу чи кількість членів племені, виникла концепція натуральних чисел. Ці числа є першими математичними об'єктами, з якими знайомиться людина, і вони безпосередньо пов'язані з процесом лічби.
Натуральні числа – це числа, які ми використовуємо для лічби окремих предметів: один камінь, дві руки, три дерева, і так далі. До множини натуральних чисел зазвичай відносять числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., що продовжуються до нескінченності. Іноді виникає дискусія щодо включення числа 0 до множини натуральних чисел. У багатьох контекстах, особливо в початковій школі, натуральні числа починаються з 1. Однак у деяких розділах вищої математики та інформатики 0 також може вважатися натуральним числом. У цьому підручнику ми дотримуватимемося традиційного підходу і вважатимемо, що множина натуральних чисел (позначається літерою \mathbb{N}) складається з чисел 1, 2, 3, ....
Існує найменше натуральне число – це 1. На відміну від нього, найбільшого натурального числа не існує, оскільки до будь-якого натурального числа ми завжди можемо додати 1 і отримати наступне, більше натуральне число. Саме тому множина натуральних чисел є нескінченною.
Натуральні числа утворюють числовий ряд: 1, 2, 3, 4, 5, ... У цьому ряді кожне наступне число є на одиницю більшим за попереднє. Це визначає порядок натуральних чисел. Ми завжди можемо порівняти два натуральні числа і сказати, яке з них більше, а яке менше. Наприклад, 5 більше за 3 (позначається як 5 > 3), а 2 менше за 7 (позначається як 2 < 7).
У повсякденному житті ми постійно використовуємо натуральні числа для:
* Лічби: "Я маю три книги", "У класі двадцять учнів".
* Впорядкування: "Він прийшов першим", "Це сторінка номер десять".
* Ідентифікації: "Номер мого будинку – 15", "Номер автобуса – 7".

2. Основні арифметичні операції над натуральними числами.

Над натуральними числами можна виконувати основні арифметичні операції: додавання, множення, віднімання та ділення. Розглянемо кожну з них та їхні основні властивості.
Додавання (+): Додавання двох натуральних чисел завжди дає в результаті інше натуральне число.
* Комутативність: Порядок доданків не впливає на суму: a + b = b + a.
  * Приклад: 3 + 5 = 8 і 5 + 3 = 8.
* Асоціативність: Порядок виконання додавання кількох чисел не впливає на результат: (a + b) + c = a + (b + c).
  * Приклад: (2 + 4) + 1 = 6 + 1 = 7 і 2 + (4 + 1) = 2 + 5 = 7.
Множення (× або ·): Множення двох натуральних чисел також завжди дає в результаті натуральне число.
* Комутативність: Порядок множників не впливає на добуток: a \times b = b \times a.
  * Приклад: 4 \times 2 = 8 і 2 \times 4 = 8.
* Асоціативність: Порядок виконання множення кількох чисел не впливає на результат: (a \times b) \times c = a \times (b \times c).
  * Приклад: (3 \times 2) \times 5 = 6 \times 5 = 30 і 3 \times (2 \times 5) = 3 \times 10 = 30.
* Дистрибутивність відносно додавання: Множення суми на число дорівнює сумі добутків кожного доданка на це число: a \times (b + c) = a \times b + a \times c.
  * Приклад: 2 \times (3 + 4) = 2 \times 7 = 14 і 2 \times 3 + 2 \times 4 = 6 + 8 = 14.
Віднімання (-): Віднімання одного натурального числа від іншого не завжди дає в результаті натуральне число. Воно можливе лише тоді, коли від'ємник не більший за зменшуване. Якщо від'ємник більший, результат виходить за межі множини натуральних чисел (ми отримуємо ціле від'ємне число).
* Приклад: 7 - 3 = 4 (результат – натуральне число), але 3 - 7 не є натуральним числом.
Ділення (÷ або /): Ділення одного натурального числа на інше також не завжди дає в результаті натуральне число.
* Ділення націло: Ділення натурального числа a на натуральне число b відбувається націло, якщо існує таке натуральне число c, що a = b \times c. У цьому випадку c називається часткою, a – діленим, а b – дільником.
  * Приклад: 12 \div 3 = 4, оскільки 12 = 3 \times 4.
* Ділення з остачею: Якщо ділення націло неможливе, то при діленні натурального числа a на натуральне число b ми отримуємо частку q та остачу r, де 0 \leq r < b і a = b \times q + r.
  * Приклад: 17 \div 5 = 3 (частка) і 2 (остача), оскільки 17 = 5 \times 3 + 2.

3. Властивості подільності натуральних чисел.

Вивчення подільності натуральних чисел допомагає нам визначати, чи ділиться одне число на інше без остачі, що є корисним при спрощенні дробів, розкладанні на множники та розв'язанні багатьох інших математичних задач.
* Дільник: Натуральне число b є дільником натурального числа a, якщо a ділиться на b без остачі.
* Кратне: Натуральне число a є кратним натурального числа b, якщо a ділиться на b без остачі.
Існують корисні ознаки подільності, які дозволяють швидко визначити, чи ділиться число на деякі прості числа:
* Ознака подільності на 2: Натуральне число ділиться на 2, якщо його остання цифра є парною (0, 2, 4, 6 або 8).
  * Приклад: 124 ділиться на 2, оскільки остання цифра 4 – парна. 357 не ділиться на 2, оскільки остання цифра 7 – непарна.
* Ознака подільності на 3: Натуральне число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3.
  * Приклад: 237 ділиться на 3, оскільки 2 + 3 + 7 = 12, а 12 ділиться на 3. 415 не ділиться на 3, оскільки 4 + 1 + 5 = 10, а 10 не ділиться на 3.
* Ознака подільності на 5: Натуральне число ділиться на 5, якщо його остання цифра є 0 або 5.
  * Приклад: 580 ділиться на 5, оскільки остання цифра 0. 935 ділиться на 5, оскільки остання цифра 5. 712 не ділиться на 5, оскільки остання цифра 2.
* Ознака подільності на 9: Натуральне число ділиться на 9, якщо сума його цифр ділиться на 9.
  * Приклад: 621 ділиться на 9, оскільки 6 + 2 + 1 = 9, а 9 ділиться на 9. 835 не ділиться на 9, оскільки 8 + 3 + 5 = 16, а 16 не ділиться на 9.
* Ознака подільності на 10: Натуральне число ділиться на 10, якщо його остання цифра є 0.
  * Приклад: 470 ділиться на 10, оскільки остання цифра 0. 237 не ділиться на 10, оскільки остання цифра 7.